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一阶线性非齐次微分方程y'=p(x)y+q(x)的通解是

先算对应的齐次方程的解.y'+P(x)y=0 y'/y=-P(x) lny=-∫P(x)dx+C y=ke^(-∫P(x)dx) 下面用常数变易法求解原方程的解.设k为u(x) y=u(x)e^(-∫P(x)dx) y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx) 代入得:Q(x)=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫

一阶线性非齐次微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解y1,y2,所以αy1,βy2分别是αy1'+αP(x)y1=αQ(x),βy2'+βP(x)y2=βQ(x)的解.而αy1+βy2也是方程y'+P(x)y=Q(x)的解,代入得(αy1+βy2)'+P(x)(αy1+βy2)=Q(x),展开得 [αy1'+αP(x)y1]+[βy2'+βP(x)y2]=αQ(x)+βQ(x)=(α+β)Q(x)=Q(x) 故α+β=1.

y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=Q(x)的两个特解,所以,y1'+p(x)y1=Q(x) y2'+p(x)y2=Q(x) λ,μ使λy1+μy2是该方程的解,所以,(λy1+μy2)'+p(x)(λy1+μy2)=λ[y1'+p(x)y1]+μ[y1'+p(x)y1]=λQ(x)+μQ(x)=Q(x) ∴ λ+μ=1 λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解,所以,(λy1-μy2)'+p(x)(λy1-μy2)=λ[y1'+p(x)y1]-μ[y1'+p(x)y1]=λQ(x)-μQ(x)=0 ∴ λ-μ=0 ∴λ=μ=1/2

先上两个定理:①非齐次方程y'+py=q的通解=齐次方程y'+py=0的通解+任意一个y'+py=q的特解;②非齐次方程y'+py=q的任意两个解之差,等于齐次方程y'+py=0的解.故y1-y2是y'+py=0的解,故其通解为y=C(y1-y2)故y'+py=q的通解为y=C(y1-y2)+y1 或y=C(y1-y2)+y2

Another meaning is a linear homogeneous differential equation, which is a differential equation of the form Ly=0定义了.线性齐次(都是一阶)微分方程 (d/dx+P(x))y=0符合定义.

dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解.此方程在现在这个状态,无法分离变量;分离不了变量,就无法求解.最常用的方法,是先求一阶齐次方程dy/dx+P(x)y=0的通解,然后把积分常数换

dy/dx表示对x求导,你认为对0求导还有意义吗?

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